WEBVTT Kind: captions; Language: fi 1 00:00:00.000 --> 00:00:06.600 Syötämme siis laatikkopotentiaalin kvanttimekaanisen koneistaan sisään, kas näin. 2 00:00:06.600 --> 00:00:12.500 Menemme koneiston sisään ja laitamme sen käyntiin. 3 00:00:12.500 --> 00:00:17.180 Tämä tarkoittaa että seuraavaksi käymme hieman läpi matematiikka. 4 00:00:17.180 --> 00:00:21.560 Mutta yksityiskohtien ymmärtäminen ei kuitenkaan ole välttämätöntä. 5 00:00:21.560 --> 00:00:26.690 Tärkeää on vain hahmottaa että hiukkaset ja aaltofunktiot ja energiat ylipäätään 6 00:00:26.690 --> 00:00:30.500 seuraavat tiettyjen yhtälöiden ratkaisuista. 7 00:00:30.500 --> 00:00:35.120 Mutta tartutaanpa toimeen ja tarkastellaan potentiaalia. Se on 8 00:00:35.120 --> 00:00:40.070 symmetrinen kolmen akselin suhteen siten että x-, y- ja z- 9 00:00:40.070 --> 00:00:44.450 suunnat ovat toisistaan riippumattomat. Tämän vuoksi voimmekin 10 00:00:44.450 --> 00:00:48.890 ratkaista ongelman eri suuntiin erikseen ja lopuksi vain yhdistää eri suuntien 11 00:00:48.890 --> 00:00:53.750 ratkaisut yhdeksi kolmiulotteiseksi ratkaisuksi. 12 00:00:53.750 --> 00:01:00.000 Aluksi siis riittää tarkastella yksiulotteista äärettömän syvää potenttiaalikuoppaa. 13 00:01:00.000 --> 00:01:05.760 Potentiaali on nolla laatikon sisällä, ääretön sen ulkopuolella. 14 00:01:05.760 --> 00:01:11.500 Eli kuin x on pienempi kuin nolla tai suurempi kuin laatikon särmän pituus L. 15 00:01:11.500 --> 00:01:15.400 Ja etsittävänä on sitten aaltofunktio psi, joka 16 00:01:15.400 --> 00:01:19.500 on jonkinlainen funktio täällä laatikon sisällä. 17 00:01:19.500 --> 00:01:23.850 Sitten tartutaan vain härkää sarvista. Ratkaistavana on 18 00:01:23.850 --> 00:01:28.000 mikäpä muukaan kuin Schrödingerin yhtälö. 19 00:01:28.000 --> 00:01:33.460 Hamiltonin operaattori H operoituna aaltofunktioon psi on yhtä suuri kuin hiukkasen 20 00:01:33.460 --> 00:01:39.000 energia E kertaa tämä sama aaltofunktio psi. 21 00:01:39.000 --> 00:01:43.980 Yhtälö voidaan kirjoittaa auki kun muistetaan että Hamiltonin operaattori on kineettisen 22 00:01:43.980 --> 00:01:48.500 energian operaattori, joka sisältää aaltofunktion mutkaisuuden eli 23 00:01:48.500 --> 00:01:52.820 tämän toisen derivaatan ja potentiaalienergian 24 00:01:52.820 --> 00:01:57.000 operaattorin eli potentiaalifunktio U. 25 00:01:57.000 --> 00:02:02.280 Nyt koska potentiaali täällä laatikon ulkopuolella on ääretön, aaltofunktion täytyy 26 00:02:02.280 --> 00:02:07.000 olla siellä nolla. Eli jos aaltofunktio psi valuu 27 00:02:07.000 --> 00:02:12.910 hiemankaan tämän laatikon ulkopuolelle, niin tällöinhän hiukkasella on jokin äärellinen 28 00:02:12.910 --> 00:02:17.860 todennäköisyys olla täällä äärettömän potentiaalienergian alueella, jolloin myös 29 00:02:17.860 --> 00:02:23.110 kokonaisenergia olisi ääretön. Näin siis ei voi olla. 30 00:02:23.110 --> 00:02:28.750 Eli koko aaltofunktion täytyy olla tämän laatikon sisäpuolella. 31 00:02:28.750 --> 00:02:34.720 Joten, kun aaltofunktio psi poikkeaa nollasta niin U on nolla. 32 00:02:34.720 --> 00:02:39.750 Ja kun U poikkeaa nollasta niin psi on nolla. 33 00:02:39.750 --> 00:02:45.210 Tämä termi täällä on siis aina nolla, jolloin se katoaa ja laatikon 34 00:02:45.210 --> 00:02:50.750 sisällä Schrödingerin yhtälö saa tämän yksinkertaisemman muodon. 35 00:02:50.750 --> 00:02:55.430 Tämä yhtälö on niin kutsuttu differentiaaliyhtälö 36 00:02:55.430 --> 00:03:00.050 eli yhtälö joka sisältää sekä tuntemattoman funktion psi että 37 00:03:00.050 --> 00:03:05.180 sen saman funktion derivaattoja. Tässä tapauksessa toisen derivaatan. 38 00:03:05.180 --> 00:03:09.250 Lisäksi emme edes tiedä energiaa E. 39 00:03:09.250 --> 00:03:15.100 Yhtälö vaikuttaa siis aika kinkkiseltä. Emme tunne psi:tä mutta silti pitäisi osata laskea sen toinen 40 00:03:15.100 --> 00:03:21.340 derivaatta ja samalla saada ratkaistua myös energia E. Mutta tästä kinkkisyydestä 41 00:03:21.340 --> 00:03:26.750 huolimatta voimme silti aina yrittää arvata tämän ratkaisun. 42 00:03:26.750 --> 00:03:31.430 Sillä jos löydämme yhtälön ratkaisun arvaamalla niin mitä sen on väliä että ratkaisu 43 00:03:31.430 --> 00:03:36.250 löytyy arvaamalla: ratkaisu on silti aina ratkaisu! 44 00:03:36.250 --> 00:03:40.750 Yritetäänpä siis sellasta aaltofunktiota psi 45 00:03:40.750 --> 00:03:45.700 kun A*sin(kx), missä A ja k ovat toistaiseksi 46 00:03:45.700 --> 00:03:49.780 tuntemattomia vakioita. Jos näin on 47 00:03:49.780 --> 00:03:54.250 niin tämän psi:n derivaatta on tämä. 48 00:03:54.250 --> 00:03:59.800 Sinifunktion derivaatta on kosini ja lisätekijäksi tulee sinin sisäfunktion 49 00:03:59.800 --> 00:04:05.620 derivaatta k. Edelleen, psi:n toinen derivaatta 50 00:04:05.620 --> 00:04:10.720 kun tämän derivaattafunktion derivaatta. Kosinin 51 00:04:10.720 --> 00:04:16.090 derivaatta on miinus sini ja lisäksi tulee kertojaksi kosinin 52 00:04:16.090 --> 00:04:21.500 sisäfunktion derivaatta k eli yhteensä k toiseen. 53 00:04:21.500 --> 00:04:27.750 Kun toinen derivaatta sitten sijoitetaan Schrödingerin yhtälöön, 54 00:04:27.750 --> 00:04:33.390 niin saadaan tämä lauseke eli muokattuna tällainen sulkulauseke 55 00:04:33.390 --> 00:04:38.280 kertaa A*sin(kx). Mutta tämähän 56 00:04:38.280 --> 00:04:43.250 täällä ei ole mitään muuta kuin ratkaisuyritteemme psi. 57 00:04:43.250 --> 00:04:48.140 Eli tästä voimmekin huomata, että psi toteuttaa 58 00:04:48.140 --> 00:04:52.940 Schrödingerin yhtälön mikäli energia E on täsmälleen 59 00:04:52.940 --> 00:04:57.800 tämä lauseke täällä. Eli siispä aaltofunktio 60 00:04:57.800 --> 00:05:02.510 A*sin(kx) on kun onkin Schrödingerin yhtälön ratkaisu. 61 00:05:02.510 --> 00:05:06.500 Eli arvauksemme oli onnistunut! 62 00:05:06.500 --> 00:05:12.500 Ratkaisu ei kuitenkaan ole vielä valmis, sillä emmehän tiedä mikä tämä vakio k edes on. 63 00:05:12.500 --> 00:05:18.500 Se kuitenkin saadaan kiinnitettyä tarkastelemalla reunaehtoja. 64 00:05:18.500 --> 00:05:23.120 Schrödingerin yhtälön toteuttava aaltofunktio näyttää siis tältä. 65 00:05:23.120 --> 00:05:28.100 Eli laatikon ulkopuolella se on nolla, kuten aiemmin totesimme ja sisäpuolella 66 00:05:28.100 --> 00:05:32.500 muotoa sini(kx). Kun k:n arvo muttuu 67 00:05:32.500 --> 00:05:37.090 niin siniaallon aallonpituus muuttuu. 68 00:05:37.250 --> 00:05:41.540 Koska aaltofunktio ei voi mennä laatikon reunalla nollaan 69 00:05:41.540 --> 00:05:45.890 äkillisesti - muutenhan aaltofunktiossa olisi äärettömän jyrkkä mutka 70 00:05:45.890 --> 00:05:50.250 ja siten äärettömän suuri kineettinen energia - 71 00:05:50.250 --> 00:05:55.410 niin sen vuoksi laatikon reunalla täytyy aina olla sinifunktion solmu- eli 72 00:05:55.410 --> 00:06:00.870 nollakohta. Fysikaalisesti hyväksyttävä aaltofunktio voisi siis näyttää 73 00:06:00.870 --> 00:06:06.060 tältä tai tältä tai tältä 74 00:06:06.060 --> 00:06:11.000 tai tältä tai niin edespäin. 75 00:06:11.000 --> 00:06:15.680 Matemaattisesti tämä puolestaan tarkoittaa 76 00:06:15.680 --> 00:06:20.540 että vaikka origossa sini eli aaltofunktio on aina nolla 77 00:06:20.540 --> 00:06:24.950 joka tapauksessa, niin sinilausekkeen täytyy 78 00:06:24.950 --> 00:06:29.500 olla nolla myös täällä L:ssä. 79 00:06:29.500 --> 00:06:35.250 Sini argumentistä k*L on nolla, kun k*L 80 00:06:35.250 --> 00:06:37.290 se jokin piin monikerta, 81 00:06:37.500 --> 00:06:42.450 eli p*po, missä p on jokin 82 00:06:42.450 --> 00:06:47.400 nollasta poikkeava kokonaisluku. Ja tässä yhteydessä tästä 83 00:06:47.400 --> 00:06:52.500 p:stä tuleekin tätä aaltofunktioita kuvaava, indeksoiva 84 00:06:52.500 --> 00:06:56.850 kvanttiluku. Tässä tapauksessa se kertoo 85 00:06:56.850 --> 00:07:01.750 aaltofunktioissa oleviin kupujen lukumäärän. 86 00:07:01.750 --> 00:07:08.000 Vakio k on siten jokin p/L:n monikerta. 87 00:07:08.000 --> 00:07:13.880 Ja tämän avulla saamme ratkaistua lopullisen p:stä riippuvan energian E_p 88 00:07:13.880 --> 00:07:17.500 ja sitä vastaavan aaltofunktion psi_p. 89 00:07:17.500 --> 00:07:23.170 Aaltofunktio normitusvakio A täällä saataisiin ratkaistua vaatimalla 90 00:07:23.170 --> 00:07:27.850 että aaltofunktion neliön integraali laatikon yli olisi täsmälleen 91 00:07:27.850 --> 00:07:33.670 yksi, mutta sen laskeminen ei ole nyt tarpeen joten ei tehdä sitä. 92 00:07:33.670 --> 00:07:38.440 Ja tämä on sitten sen yksiulotteisen potentiaalikuopan 93 00:07:38.440 --> 00:07:43.630 lopullinen ratkaisu. Ja aaltofunktiot näyttävät tältä. 94 00:07:43.630 --> 00:07:49.360 Perustilalla p=1 ja aaltofunktiossa on yksi kupu. 95 00:07:49.360 --> 00:07:54.490 Ensimmäisellä viritystilalla aaltofunktiossa on yksi solmukohta ja kaksi kupua, 96 00:07:54.490 --> 00:07:59.000 energia on suurempi. Ja niin edespäin. 97 00:07:59.000 --> 00:08:04.850 Mutta siirrytään nyt sitten takaisin varsinaiseen kolmiulotteiseen 98 00:08:04.850 --> 00:08:09.950 tapaukseen. Schrödingerin yhtälö laatikon sisäpuolella on yksiulotteisen 99 00:08:09.950 --> 00:08:15.140 yhtälön suora yleistys. Eli kineettinen energia vain ottaa huomioon aaltofunktion 100 00:08:15.140 --> 00:08:20.420 mutkaisuuden näihin kaikkiin kolmeen suuntaan ja aaltofunktio 101 00:08:20.420 --> 00:08:25.750 on sekä x:n että y:n että z:n funktio. 102 00:08:25.750 --> 00:08:31.030 Nyt voimmekin itse asiassa heti kirjoittaa tämän yhtälön ratkaisun suoraan, sillä 103 00:08:31.030 --> 00:08:36.250 se on vain eri suuntien yksiulotteisten ratkaisuiden tulo. 104 00:08:36.250 --> 00:08:42.160 Eli ratkaisuaaltofunktio on sini x:stä kertaa 105 00:08:42.160 --> 00:08:47.410 sini y:stä kertaa sin z:sta. Siten, 106 00:08:47.410 --> 00:08:51.970 että kaikilla kolmella suunalla on omat kvanttilukunsa: 107 00:08:51.970 --> 00:08:56.950 x-suunnalla on kvanttiluku p, y-suunnalla q ja 108 00:08:56.950 --> 00:09:02.590 z-suunnalla l. Ja kaikki kuvanttiluvut ovat ykköstä suurempia kokonaislukuja. 109 00:09:02.590 --> 00:09:07.030 Se että tämä oikeasti on Schrödingerin 110 00:09:07.030 --> 00:09:12.370 yhtälön ratkaisu voi nähdä vaikka siten, että jos tarkastelemme tässä yhtälössä 111 00:09:12.370 --> 00:09:17.230 toista derivaattaa vain ja ainoastaan x:n suhteen, niin kaikki 112 00:09:17.230 --> 00:09:22.240 muut tekijät täällä ovat x:n derivaatan suhteen vakioita. Tällöin 113 00:09:22.240 --> 00:09:27.640 derivoinnin vastaus tulee täsmälleen samasta laskusta kuin edellä 114 00:09:27.640 --> 00:09:32.800 yksiulotteisessa kuopassa. Ja kun kolmen suunnan kineettisen 115 00:09:32.800 --> 00:09:37.600 energian osat täällä lasketaan yhteen, niin kokonaisenergiaksi saadaan 116 00:09:37.600 --> 00:09:43.450 tämä lauseke eli tämä vakio kertaa kaikkiin eri suuntien 117 00:09:43.450 --> 00:09:48.000 kvanttilukujen neliöiden summa. 118 00:09:48.000 --> 00:09:53.970 Ja tämäpä onkin jo lopullinen tuloksemme laatikkoatomin aaltofunktioiksi 119 00:09:53.970 --> 00:09:59.500 ja energioiksi ja voimme nyt poistua koneen sisältä. 120 00:09:59.500 --> 00:10:04.960 Alunperin siis halusimme tietää hiukkasen energiat ja aaltofunktiot tällaisessa 121 00:10:04.960 --> 00:10:10.450 kolmiulotteisessa laatikkopotentiaalissa. Laitomme potentiaalin tämän 122 00:10:10.450 --> 00:10:15.640 kvanttimekaanisen koneiston sisään, väänsimme kampea 123 00:10:15.640 --> 00:10:21.250 ja koneisto sylkäisi aaltofunktiot psi_pql, jotka ovat 124 00:10:21.250 --> 00:10:27.500 ovat sinien tuloja ja energiat E_pql, missä nämä 125 00:10:27.500 --> 00:10:31.970 p, q ja l ovat tiloja indeksoivia kvanttilukuja jotka syntyivät 126 00:10:31.970 --> 00:10:36.080 matemaattisina ikään kuin oheistuotteina ja kuvasivat 127 00:10:36.080 --> 00:10:38.990 aaltofunktioiden kupujen lukumäärää.