WEBVTT Kind: captions; Language: fi

1
00:00:00.870 --> 00:00:06.970
Logiikan luennot.
Johdantoa predikaatti logiikkaan,

2
00:00:06.970 --> 00:00:13.680
Ja siihen liittyen joukko-opin alkeita.

3
00:00:13.680 --> 00:00:17.720
Aiemmin on käsitelty lauselogiikkaa.

4
00:00:17.720 --> 00:00:23.890
Ja lauselogiikan rajallisuus
on melko lailla ilmeinen,

5
00:00:23.890 --> 00:00:29.490
siinä mielessä, että sen
kieli on varsin yksinkertainen.

6
00:00:29.490 --> 00:00:34.110
Siinä on muutama konnektiivi
määriteltynä ja niiden avulla sitten

7
00:00:34.110 --> 00:00:41.220
käsitellään kokonaisten
lauseiden välisiä suhteita.

8
00:00:41.220 --> 00:00:43.990
Jos otetaan toinen näkökulma

9
00:00:43.990 --> 00:00:51.720
tähän rajallisuus teemaan, niin voimme
ajatella seuraavanlaista aika lailla ilmiselvää

10
00:00:51.720 --> 00:01:00.450
argumenttia, jossa premissejä ovat
lauseet: ”jokainen lehmä märehtii”,

11
00:01:00.450 --> 00:01:06.670
Sekä ”Mansikki
on lehmä”.

12
00:01:06.670 --> 00:01:12.850
Nämä lauseet ovat lauselogiikan
näkökulmasta atomaarisia.

13
00:01:12.850 --> 00:01:17.220
Ne eivät sisällä
konnektiivejä.

14
00:01:17.220 --> 00:01:19.970
Ja näin ollen ne voidaan formalisoida

15
00:01:19.970 --> 00:01:27.770
lause - kirjaimin sekä jos
ajatellaan, että nämä ovat argumentin

16
00:01:27.770 --> 00:01:33.750
premissejä ja konkluusio
on lause ”Mansikki marehtii”

17
00:01:33.750 --> 00:01:35.990
Ja.

18
00:01:35.990 --> 00:01:43.090
Formalisoimme tämän mansikin
märehtimisen lauseella saamme

19
00:01:43.090 --> 00:01:48.640
Argumentin premissit ja
konkluusion kokonaisuuden.

20
00:01:48.640 --> 00:01:58.830
Lauseena A, B siispä c.
Arkijärjen näkökulmasta päättely on pätevä.

21
00:01:58.830 --> 00:02:01.750
Niin argumentti on hyvä.

22
00:02:01.750 --> 00:02:05.470
Jos premissit pitävät
paikkansa niin vääjäämättä

23
00:02:05.470 --> 00:02:08.830
konkluusio pitää myös paikkansa.

24
00:02:08.830 --> 00:02:16.870
Mutta tämä lauselogiikan formalisointi
A, B siispä C ei kuitenkaan ole

25
00:02:16.870 --> 00:02:24.840
pätevä ja kysymys kuuluu, mitä logiikan
teorialla voidaan tehdä, jotta saamme.

26
00:02:24.840 --> 00:02:27.130
päättelyn

27
00:02:27.130 --> 00:02:34.910
pätevyyden vastaamaan melko
lailla ilmiselvästi intuitiotamme.

28
00:02:34.910 --> 00:02:41.240
Ja jos tarkastellaan
aluksi äskeisen argumentin.

29
00:02:41.240 --> 00:02:49.170
Premissejä.
Ja konkluusiota tällaisen kuvan muodossa.

30
00:02:49.170 --> 00:02:51.070
Ensimmäinen premissi.

31
00:02:51.070 --> 00:02:57.300
Sanoo, että kaikki lehmät ovat
märehtijöitä ja jos visualisoimme.

32
00:02:57.300 --> 00:03:02.630
Ne tilanteen niin.
Laittaessamme.

33
00:03:02.630 --> 00:03:08.710
Lehmät ja märehtijät ikään
kuin 2. Sisäkkäiseen.

34
00:03:08.710 --> 00:03:17.790
Aitaukseen siten, että lehmät ovat sisemmässä
aitauksessa ja märehtijöiden joukko ulommassa

35
00:03:17.790 --> 00:03:23.830
aitauksessa niin ensimmäinen
premissi sanoo yksinkertaisesti, että.

36
00:03:23.830 --> 00:03:26.260
Lehmät.

37
00:03:26.260 --> 00:03:33.490
Ovat märehtijöiden aitauksen
sisäpuolella tai tämä voitaisiin

38
00:03:33.490 --> 00:03:37.950
ilmaista myös siten, että joka ikinen.

39
00:03:37.950 --> 00:03:44.760
Lehmä on myös märehtijöiden piirissä.

40
00:03:44.760 --> 00:03:49.940
Kun toinen premissi sanoo
että ”Mansikki on lehmä”,

41
00:03:49.940 --> 00:03:57.990
Se tarkoittaa sitä, että Mansikki
löytyy täältä lehmien aitauksesta.

42
00:03:57.990 --> 00:04:01.070
Ja jos ensimmäinen premissi
sanoi, että jokainen lehmä

43
00:04:01.070 --> 00:04:04.220
on myös märehtijöiden piirissä.

44
00:04:04.220 --> 00:04:10.440
Niin aika lailla vääjäämättä ajatukset.

45
00:04:10.440 --> 00:04:15.410
Johtavat siihen, että Mansikki
on myös märehtijöiden

46
00:04:15.410 --> 00:04:23.330
piirissä ja se olikin tämän argumentin.
Idea.

47
00:04:23.330 --> 00:04:25.660
Ja se mikä tässä on huomioitu.

48
00:04:25.660 --> 00:04:30.370
Huomioitavaa on, että
voimme ajatella, että.

49
00:04:30.370 --> 00:04:37.520
Lehmien aitauksessa.
Olevat oliot tässä kuviossa.

50
00:04:37.520 --> 00:04:40.930
Itse asiassa.

51
00:04:40.930 --> 00:04:48.150
Omaavat tietyn ominaisuuden,
nimittäin lehmäyyden ominaisuuden.

52
00:04:48.150 --> 00:04:55.330
Ja vastaavasti märehtijöiden
piirissä olevat oliot.

53
00:04:55.330 --> 00:04:59.090
Omaavat märehtijiyden ominaisuuden.

54
00:04:59.090 --> 00:05:02.060
Ja voimme ajatella siis näitä.

55
00:05:02.060 --> 00:05:10.350
Ympyröitä ikään kuin ominaisuuksina
ja ne oliot, jotka näissä

56
00:05:10.350 --> 00:05:19.850
piireissä ovat olioita,
joilla on kyseinen ominaisuus.

57
00:05:19.850 --> 00:05:28.290
No tästä sitten hyppäämme joukko-opin
alueelle ja tarkastelemme joitakin

58
00:05:28.290 --> 00:05:35.750
peruskäsitteitä joukko opin
piiristä ja ideana on se, että.

59
00:05:35.750 --> 00:05:41.530
Joukko opin peruskäsitteiden
avulla muotoilemme predikaatti

60
00:05:41.530 --> 00:05:46.800
logiikalle merkitys opin eli semantiikan.

61
00:05:46.800 --> 00:05:54.110
Aloitetaan joillakin
merkintätapoja koskevilla huomiolla.

62
00:05:54.110 --> 00:05:59.060
Ideana on, että meillä on alkioita.
Jotka.

63
00:05:59.060 --> 00:06:01.910
Voivat olla aivan mitä tahansa asioita.

64
00:06:01.910 --> 00:06:10.770
Ne voivat olla esineitä, yksittäisiä
materiaalisia asioita, kuten lehmät tai

65
00:06:10.770 --> 00:06:17.420
eläimiä, jotain muita eläimiä tai
sitten vaikkapa huonekaluja tai.

66
00:06:17.420 --> 00:06:21.720
Autoja tai polkupyöriä
tai mitä hyvänsä.

67
00:06:21.720 --> 00:06:25.100
Ne voivat olla myös
abstrakteja asioita, kuten lukuja

68
00:06:25.100 --> 00:06:30.390
tai ideoita tai sen tyyppisiä asioita.

69
00:06:30.390 --> 00:06:37.150
Näitä merkitään aakkosten alkupään
kirjaimilla A, B, C ja niin edespäin

70
00:06:37.150 --> 00:06:42.890
ja käytämme pieniä
kirjaimia olijoiden niminä.

71
00:06:42.890 --> 00:06:47.110
Niitä voi ajatella ikään kuin
logiikka niminä samaan tapaan kuin.

72
00:06:47.110 --> 00:06:52.680
Ala-asteella kielten
oppitunneilla oppilaat saivat.

73
00:06:52.680 --> 00:06:58.660
Vieraan kielen nimen tunnille.

74
00:06:58.660 --> 00:07:02.490
Sitten ajattelemme, että.

75
00:07:02.490 --> 00:07:10.490
Nämä alkiot voivat muodostaa joukkoja
ja ne joukot ovat yksinkertaisesti vain.

76
00:07:10.490 --> 00:07:17.440
Poimintoja näistä alkioita, eli voidaan
valita joukko alkioita, joita sitten

77
00:07:17.440 --> 00:07:23.410
sanotaan joukoksi ja se voidaan
muodostaa aivan miten tahansa.

78
00:07:23.410 --> 00:07:33.100
Käytetään niistä isoja alkukirjaimia
ja tässä A, B, C ja alaindeksi tarvittaessa.

79
00:07:33.100 --> 00:07:36.870
Tämän lisäksi käytetään.

80
00:07:36.870 --> 00:07:42.680
Aakkosten loppupään kirjaimia,
pieniä kirjaimia X, Y, Z variaabeleina.

81
00:07:42.680 --> 00:07:50.430
Joita sitten tarvitaan merkitsemään
ikään kuin alkioita ja nämähän oikeastaan

82
00:07:50.430 --> 00:07:55.120
vastaavat luonnollisestikin
pronomineja käytössä.

83
00:07:55.120 --> 00:08:03.130
Niin jos emme tiedä henkilön nimeä,
niin voimme käyttää pronominia hän tai

84
00:08:03.130 --> 00:08:09.120
jos asialla ei ole nimeä, niin voimme
sanoa että tai niin edespäin ilman

85
00:08:09.120 --> 00:08:14.510
että meidän tarvitsee tietää
välttämättä edes spesifiä.

86
00:08:14.510 --> 00:08:18.680
Alkioita, että mihin viitataan?

87
00:08:18.680 --> 00:08:23.730
Tämän ohella nyt sitten tarvitaan
täällä niin kuulumis- relaatio.

88
00:08:23.730 --> 00:08:30.270
josta käytetään tällaista symbolia
ikään kuin oikealle avautuva tämmöinen.

89
00:08:30.270 --> 00:08:36.450
e kirjainta muistuttava symboli ja
jos sanomme, että pieni a niminen

90
00:08:36.450 --> 00:08:41.490
alkio kuuluu joukkoon A
niin niin saamme tällaisen

91
00:08:41.490 --> 00:08:49.890
Ilmaisun: a kuuluu A:han tämä itse
asiassa on lause ja tämä joukko-

92
00:08:49.890 --> 00:08:56.480
opillinen lause, jossa sanotaan, että
alkio kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon.

93
00:08:56.480 --> 00:08:59.490


94
00:08:59.490 --> 00:09:05.030
Tämä voidaan ilmaista myös toisessa
muodossa predikaattilogiikassa

95
00:09:05.030 --> 00:09:09.930
ja me tulemme käyttämään sitä
toisenlaista ilmaisumuotoa, mutta siihen

96
00:09:09.930 --> 00:09:14.240
siihen tullaan myöhemmin palaamaan.

97
00:09:14.240 --> 00:09:18.730
Toisaalta sitten on mahdollista,
että alkio ei kuulu johonkin

98
00:09:18.730 --> 00:09:22.200
joukkoon ja esimerkiksi
b ei kuulu joukkoon.

99
00:09:22.200 --> 00:09:30.340
A ajatusta ilmaistaan nyt sitten
formaalisti tähän tapaan ei kuulu joukkoon;

100
00:09:30.340 --> 00:09:33.800


101
00:09:33.800 --> 00:09:39.980
Symbolia e muistuttava
symboli, joka on yliviivattu tai

102
00:09:39.980 --> 00:09:46.240
sitten käytän negaatio merkkiä
lauselogiikasta tuttu: ei ole niin ja

103
00:09:46.240 --> 00:09:53.090
sulkeissa (a kuuluu A:han)
vastaa tätä ajatusta.

104
00:09:53.090 --> 00:09:54.890
Tän.

105
00:09:54.890 --> 00:09:58.800
Tällaisilla merkintätavalla
tavallisilla sopimuksilla.

106
00:09:58.800 --> 00:10:05.910
Lähdemme nyt sitten kuvaamaan joukko
opin peruskäsitteitä, jotka ovat varsin.

107
00:10:05.910 --> 00:10:13.170
Alkeellisia ja intuitiivisia sellaisenaan
merkintätavat sitten ovat hiukan

108
00:10:13.170 --> 00:10:19.850
mutkikkaampia, mutta helposti
ymmärrettävissä ja opittavissa.

109
00:10:19.850 --> 00:10:24.210
Aloitetaan joukon määrittämisellä.

110
00:10:24.210 --> 00:10:29.830
Ja periaatteessa joukko
voidaan määrittää 2 eri tavalla.

111
00:10:29.830 --> 00:10:35.650
Molemmat ovat aivan yksi
hyviä tapoja määrittää joukko.

112
00:10:35.650 --> 00:10:41.610
Ensimmäinen on niin sanottu nimeämistätapa
tai luettelemistatapa, jossa yksinkertaisesti

113
00:10:41.610 --> 00:10:48.690
luetellaan jokainen alkio,
joka kuuluu johonkin joukkoon.

114
00:10:48.690 --> 00:10:53.590
Rajoituksena tässä on se, että me
voimme luetella vain äärellisen.

115
00:10:53.590 --> 00:10:55.800
Määrän.

116
00:10:55.800 --> 00:11:02.020
Asioita näin ollen äänettömien joukkojen
tapauksessa emme voi käyttää luetteloa.

117
00:11:02.020 --> 00:11:11.520
Mutta jos sopii, sovimme, että.
Puhumme joukosta a.

118
00:11:11.520 --> 00:11:16.780
Ja halutaan ilmaista,
että tämä on ryhmä.

119
00:11:16.780 --> 00:11:22.130
Ja nyt se koostuu alkioista.

120
00:11:22.130 --> 00:11:25.990
Koivisto, Ahtisaari, Halonen Niinistö.

121
00:11:25.990 --> 00:11:29.740
SUOMI sovimme, että suomalaisten per.

122
00:11:29.740 --> 00:11:35.590
Myös joukosta ollaan puhumassa ja
sitten sieltä suomalaisten perusjoukosta

123
00:11:35.590 --> 00:11:43.480
olemme valikoineet 4 alkiota ja
merkintätavallisesti sovimme

124
00:11:43.480 --> 00:11:46.980
tämän joukon määrittämisen

125
00:11:46.980 --> 00:11:50.680
Ilmaisusta vaan siten, että
käytämme tällaisia aalto-

126
00:11:50.680 --> 00:11:54.560
sulkeita ja aaltosulkeiden sisälle

127
00:11:54.560 --> 00:12:04.600
laitamme pilkulla erottaen alkioiden
nimet jonoon, järjestyksellä ei ole väliä.

128
00:12:04.600 --> 00:12:09.800
Joukko on identtinen
riippumatta siitä, että

129
00:12:09.800 --> 00:12:13.560
missä järjestyksessä
ne alkiot on lueteltu.

130
00:12:13.560 --> 00:12:18.780
Mutta meillä voisin nyt olla alkiot
Koivisto Ahtisaari, Halonen, Niinistö ja

131
00:12:18.780 --> 00:12:26.920
heille voitaisiin antaa logiikka-
nimet esimerkiksi k, a, h ja n.

132
00:12:26.920 --> 00:12:32.470
niin on helppo muistaa, ketä tähän
joukkoon kuuluu ja sitten sellainen

133
00:12:32.470 --> 00:12:38.260
huomio, että tämä merkki
=, yhtäsuuruusmerkki.

134
00:12:38.260 --> 00:12:43.700
matematiikassa tässä
tarkoittaa hiukan eri asiaa.

135
00:12:43.700 --> 00:12:49.300
Nimittäin tässä on kyse
identtisyydestä eli samuudesta.

136
00:12:49.300 --> 00:12:56.020
Eli sanomme, että joukko on
sama kuin tämä 4 henkilön joukko.

137
00:12:56.020 --> 00:12:58.550
Se ei ole yhtäsuuruutta tarkoittava.

138
00:12:58.550 --> 00:13:05.460
joukko vaan se on samoista
alkioista koostuva joukko.

139
00:13:05.460 --> 00:13:13.580
Toinen tapa määrittää joukko on antaa
sääntö, jonka avulla voidaan sanoa mistä

140
00:13:13.580 --> 00:13:22.300
tahansa perusjoukon alkiosta, että
kuuluuko kyseinen alkio tarkoitettuun

141
00:13:22.300 --> 00:13:30.590
joukkoon vai ei.
Ja esimerkiksi voimme sanoa, että joukko A.

142
00:13:30.590 --> 00:13:32.690
koostuu

143
00:13:32.690 --> 00:13:39.270
niistä alkioista, jotka sopivat sääntöön
kahdeskymmenesseitsemäs helmikuuta

144
00:13:39.270 --> 00:13:45.470
kaksituhattaneljätoista elossa
olevat Suomen presidentit.

145
00:13:45.470 --> 00:13:51.190
Eli tuona päivämääränä elossa
olevat Suomen presidentit -

146
00:13:51.190 --> 00:13:55.010
ominaisuuden

147
00:13:55.010 --> 00:13:59.750
täyttävät oliot kuuluvat
joukkoon ja näitä olivat

148
00:13:59.750 --> 00:14:04.500
Koivisto Ahtisaari, Halonen ja Niinistö.

149
00:14:04.500 --> 00:14:09.890
Eli voimme 2 eri
tavalla määrittää

150
00:14:09.890 --> 00:14:14.670
joukot, jotka ovat keskenään identtiset.

151
00:14:14.670 --> 00:14:17.620
Nyt sitten joukkojen suhteita,

152
00:14:17.620 --> 00:14:23.910
jotka kannaltamme ovat tärkeitä.
Ensiksi joukkojen leikkaus.

153
00:14:23.910 --> 00:14:31.220
Josta käytetään tällaista alaspäin
aukeavaa hevosenkengän muotoista symbolia.

154
00:14:31.220 --> 00:14:36.930
Niin sanomme, että joukkojen A ja B
 leikkaus on joukko, joka koostuu

155
00:14:36.930 --> 00:14:43.520
niistä alkioista, jotka kuuluvat
molempiin näistä joukoista.

156
00:14:43.520 --> 00:14:53.400
Ja formaalissa muodossa ilmaistuna niin
joukkojen A ja B leikkaus on identtinen

157
00:14:53.400 --> 00:15:00.390
sen joukon kanssa, johon kuuluvat
perusjoukon omegan alkiot.

158
00:15:00.390 --> 00:15:07.970
joille pätee:
alkio kuuluu joukkoon A

159
00:15:07.970 --> 00:15:19.250
ja joukkoon B.
Vastaavasti joukkojen A ja B unioni.

160
00:15:19.250 --> 00:15:21.070
josta käytetään.

161
00:15:21.070 --> 00:15:26.730
symbolia, joka on ylöspäin aukeavan
hevosenkengän muotoinen.

162
00:15:26.730 --> 00:15:29.390
eli unioni merkkiä.

163
00:15:29.390 --> 00:15:35.310
Se on joukko, joka koostuu niistä
alkioista, jotka kuuluvat joukkoon A tai B

164
00:15:35.310 --> 00:15:44.930
tai molempiin, formaalisti
A:n ja B:n unioni on identtinen.

165
00:15:44.930 --> 00:15:52.430
sen joukon kanssa, joka koostuu
niistä perusjoukon omega alkioista,

166
00:15:52.430 --> 00:16:01.600
joille pätee, että ne kuuluvat joukkoon A
tai joukkoon B

167
00:16:01.600 --> 00:16:08.000
tai molempiin.
Muistisääntönä.

168
00:16:08.000 --> 00:16:12.180
Näistä määritelmistä on hyvä
huomata, että leikkauksen

169
00:16:12.180 --> 00:16:19.610
merkki aukeaa alaspäin ja konjunktion
merkki aukeaa alaspäin.

170
00:16:19.610 --> 00:16:27.740
Unionin merkki aukeaa ylöspäin ja
disjunktion merkki aukeaa ylöspäin.

171
00:16:27.740 --> 00:16:33.480
Joukkojen erotus.
On sellainen joukko.

172
00:16:33.480 --> 00:16:36.220
A miinus B,

173
00:16:36.220 --> 00:16:42.000
joille pätee, että alkio kuuluu
joukkoon A, mutta ei kuulu joukkoon

174
00:16:42.000 --> 00:16:44.010
B.

175
00:16:44.010 --> 00:16:49.600
Formaalisti miinus on identtinen
sen joukon kanssa, johon kuuluvat

176
00:16:49.600 --> 00:16:56.740
ne perusjoukon omegan alkiot, joille
pätee sääntö, että alkio kuuluu

177
00:16:56.740 --> 00:17:07.270
joukkoon A, mutta alkio
ei kuulu joukkoon B.

178
00:17:07.270 --> 00:17:11.990
Edelleen mainitut kuvallisessa
muodossa välittömästi

179
00:17:11.990 --> 00:17:19.880
avaavat näiden käsitteiden merkitykset.
Eli A:n ja B:n leikkaus

180
00:17:19.880 --> 00:17:23.280
koostuu niistä alkioista,

181
00:17:23.280 --> 00:17:29.860
joille pätee, että ne kuuluvat sekä
joukkoon A että joukkoon B eli näiden

182
00:17:29.860 --> 00:17:39.260
2 joukon leikkaus on se
joukko, johon tässä viitataan.

183
00:17:39.260 --> 00:17:41.950
Ja.

184
00:17:41.950 --> 00:17:51.490
Esimerkiksi, jos ajattelemme, että
haluaisimme puhua vaikkapa aikuisista naisista

185
00:17:51.490 --> 00:17:57.960
ja sovittaisiin, että joukko A
pitää sisällään aikuiset

186
00:17:57.960 --> 00:18:04.890
Ja joukko B
pitää sisällään naiset.

187
00:18:04.890 --> 00:18:10.310
Niin haluaisimme silloin viitata
niihin alkioihin, joille pätee,

188
00:18:10.310 --> 00:18:16.640
että he ovat aikuisia
ja että he ovat naisia.

189
00:18:16.640 --> 00:18:22.990
Ja tällöin nyt sitten.
Ilmaisisimme

190
00:18:22.990 --> 00:18:28.470
alkiot, joilla on nämä 2 ominaisuutta
siten tässä kuvallisessa muodossa,

191
00:18:28.470 --> 00:18:36.410
että he olisivat näiden 2
joukon leikkauspisteessä.

192
00:18:36.410 --> 00:18:41.590
Kuvallisessa muodossa unioni
on ilmaistavissa tällä tavalla.

193
00:18:41.590 --> 00:18:46.190
Siinä perusjoukon alkioista

194
00:18:46.190 --> 00:18:51.290
Ajatellaan, että niillä
voi olla ominaisuus A.

195
00:18:51.290 --> 00:18:56.050
tai B molemmat.

196
00:18:56.050 --> 00:19:00.870
Ja nämä kriteerit täyttävät
alkiot kuuluvat sitten A:n ja

197
00:19:00.870 --> 00:19:04.890
BN unioniin eli vähintään jompaankumpaan.

198
00:19:04.890 --> 00:19:13.070
Näistä AB ympyröistä kuuluvat joukot
ovat sitten unionin unionin jäseniä

199
00:19:13.070 --> 00:19:19.750
tai alkioita.
Ja ne alkiot perusjoukosta.

200
00:19:19.750 --> 00:19:28.350
Omega, jotka eivät kuulu kumpaankaan, ovat
täällä valkoisella alueella tässä kuviossa,

201
00:19:28.350 --> 00:19:35.430
niin ne eivät ole tämän unionin
joukkoon kuuluvia alkioita.

202
00:19:35.430 --> 00:19:38.050
Ja joukkojen erotus.

203
00:19:38.050 --> 00:19:42.270
Yksi intuitiivisesti
kuvallisessa muodossa ilmaistuna.

204
00:19:42.270 --> 00:19:49.790
Eli jos alkio kuuluu joukkoon a,
mutta ei kuulu joukkoon niin silloin.

205
00:19:49.790 --> 00:19:56.120
Puhutaan.
A:N ja BN erotuksesta.

206
00:19:56.120 --> 00:20:04.590
Tässä on hyvä huomata, että A:n ja
BN erotus ei viittaa samaan joukkoon

207
00:20:04.590 --> 00:20:12.610
kuin BN ja A: N erotus eli
erotus ei ole symmetrinen.

208
00:20:12.610 --> 00:20:17.280
Suhde toisin kuin.
Joukkojen unioni.

209
00:20:17.280 --> 00:20:25.240
Taikka joukkojen leikkaus.
Joukkojen suhteesta.

210
00:20:25.240 --> 00:20:31.390
On hyvä mainita vielä
seuraavat 2 tai 3 itse asiassa.

211
00:20:31.390 --> 00:20:38.540
Ensiksi joukon komplementttijoukko,
josta käytetään tällaista symbolia.

212
00:20:38.540 --> 00:20:45.130
Eli joukon yläpään joukon symbolin
yläpuolella on laitettu tämmöinen vaakaviiva.

213
00:20:45.130 --> 00:20:49.350
Se on yksinkertaisesti joukko,
jonka alkiot eivät kuulu

214
00:20:49.350 --> 00:20:53.540
joukkoon eli A: N komplementtijoukko.

215
00:20:53.540 --> 00:21:03.170
On niistä alkioista koostuva joukko,
jotka ei eivät kuulu joukkoon a.

216
00:21:03.170 --> 00:21:08.880
Ja sitten osajoukkosuhde.
A on BN osajoukko.

217
00:21:08.880 --> 00:21:13.170
Jos te käytetään tällaista
symbolia, jossa on.

218
00:21:13.170 --> 00:21:20.810
Oikealle avautuva hevosen kenkä
ja sen alapuolella– jokainen.

219
00:21:20.810 --> 00:21:28.540
Analogi on myös
BN alkio. Ja.

220
00:21:28.540 --> 00:21:31.500
Nyt sitten tästä osajoukosta.

221
00:21:31.500 --> 00:21:38.160
Tai osajoukon käsitteestä voimme.
Nyt sitten.

222
00:21:38.160 --> 00:21:42.310
Tai sen käsitettä
hyväksikäyttäjän määrittää.

223
00:21:42.310 --> 00:21:48.480
Tavan, jolla voimme.
Todistaa 2 joukkoa identiseksi.

224
00:21:48.480 --> 00:21:55.080
Eli jos ja joukot on todistettava
identtiset niin on osoitettava

225
00:21:55.080 --> 00:22:00.000
toisaalta, että jokainen
A: N alkio kuuluu b, hen.

226
00:22:00.000 --> 00:22:08.810
Ja, että jokainen BN joukko
BBN alkio kuuluu joukkoon a.

227
00:22:08.810 --> 00:22:10.670
Komplementtin.

228
00:22:10.670 --> 00:22:16.340
Komplementjoukon käsitteen visualisointi,
jos ajattelemme, että tässä.

229
00:22:16.340 --> 00:22:20.030
Tummemmalla sinisellä pohjalla on.

230
00:22:20.030 --> 00:22:27.000
Perusjoukon omega alue, niin
sen sisällä on sitten joukon a.

231
00:22:27.000 --> 00:22:32.360
Alue niin täällä tummalla pohjalla olevat.

232
00:22:32.360 --> 00:22:38.120
Alkiot ovat A: N komplementtiin
kuuluvat eli yksinkertaisesti kaikki ne

233
00:22:38.120 --> 00:22:41.580
perusjoukon omega alkiot,
jotka eivät kuulu joukkoon.

234
00:22:41.580 --> 00:22:49.540
A.
Osajoukko käsite puolestaan?

235
00:22:49.540 --> 00:22:56.820
Kuvallisessa muodossa vastaa.
Tilannetta jossa.

236
00:22:56.820 --> 00:23:02.100
Joukon alkiot.
Kuuluvat.

237
00:23:02.100 --> 00:23:08.990
BN alkioiden kanssa samaan piiriin.

238
00:23:08.990 --> 00:23:14.250
Ja yleisessä muodossa on
mahdollista luonnollisesti, että.

239
00:23:14.250 --> 00:23:21.990
B hen kuuluu jokin sellainen alkio.
Joka ei kuulu A:han.

240
00:23:21.990 --> 00:23:29.020
Mutta.
On myös mahdollista sanoa.

241
00:23:29.020 --> 00:23:30.860
Että.

242
00:23:30.860 --> 00:23:36.140
A on BN osajoukko myös silloin
kun b, ssä ei ole yhtään sellaista

243
00:23:36.140 --> 00:23:44.110
alkiota joka ei kuuluisi myös A:han.
Tapaus jossa.

244
00:23:44.110 --> 00:23:49.960
Vieheen kuuluu alkio,
joka ei kuulu A:han on.

245
00:23:49.960 --> 00:23:55.560
 sitten aidon osajoukon
käsitteeseen sopiva.

246
00:23:55.560 --> 00:24:00.660
Tilanne ja se voidaan
määritellä käyttäen hyväksi.

247
00:24:00.660 --> 00:24:08.620
 tällä videolla
esiteltyjä käsitteitä.

248
00:24:08.620 --> 00:24:12.770
Ja sitten yksi semmoinen
käsite on hyvä tuoda esille.

249
00:24:12.770 --> 00:24:18.490
Joka.
Mielestäni on varsin tärkeä

250
00:24:18.490 --> 00:24:23.930
myös tieteen metodologian kannalta
ja se on niin sanottu potenssijoukon

251
00:24:23.930 --> 00:24:29.860
käsite tai englanniksi powerset käsite.

252
00:24:29.860 --> 00:24:34.480
Määritelmällisesti se on
aika nopeasti ilmaistuna.

253
00:24:34.480 --> 00:24:37.290
Se on.

254
00:24:37.290 --> 00:24:42.920
Määriteltävissä näin
joukon A:n potenssijoukko.

255
00:24:42.920 --> 00:24:53.100
2 potenssiin N.
On kaikkien N:n osajoukkojen joukko.

256
00:24:53.100 --> 00:24:59.720
Eli se on joukon N
osajoukkojen joukko ja ideana

257
00:24:59.720 --> 00:25:06.890
toisin sanoen tässä potenssijoukon
käsitteessä on se, että siinä puhutaan

258
00:25:06.890 --> 00:25:18.700
kaikista mahdollisista osajoukkojen
variaatioista, jotka on löydettävissä.

259
00:25:18.700 --> 00:25:23.230
Ja.

260
00:25:23.230 --> 00:25:27.680
Voimme esimerkin kautta
nyt sitten kysyä, että

261
00:25:27.680 --> 00:25:35.710
Mitkä ovat seuraavien joukkojen
potenssijoukot ja tässä on 4

262
00:25:35.710 --> 00:25:40.570
erilaista variaatiota,
tässä ensimmäisenä on

263
00:25:40.570 --> 00:25:47.510
Semmoinen tilanne, jossa on niin sanottu
tyhjä joukko ja tyhjä joukko voidaan ilmaista

264
00:25:47.510 --> 00:25:55.650
tai merkitä 2 eri tavalla eli voidaan
ottaa tällaiset sulkeet ja jättää

265
00:25:55.650 --> 00:26:00.660
sulkeiden sisältö tyhjäksi.

266
00:26:00.660 --> 00:26:09.150
Ja siitä käytetään usein myös
tällaista tyhjän joukon symbolia.

267
00:26:09.150 --> 00:26:13.250
Toinen
Kysymys.

268
00:26:13.250 --> 00:26:20.690
Mikä on
Potenssijoukko 2 potenssiin N

269
00:26:20.690 --> 00:26:27.420
kun N on sellainen joukko,
johon kuuluu alkio yksi.

270
00:26:27.420 --> 00:26:33.880
Kolmanneksi mikä on potenssijoukko
2 potenssiin N kun on joukko

271
00:26:33.880 --> 00:26:40.020
johon kuuluu alkiot a1
sekä a2 ja neljänneksi

272
00:26:40.020 --> 00:26:42.090
kun N

273
00:26:42.090 --> 00:26:49.320
On joukko, johon kuuluu
alkiot a1, a2, ja a3.

274
00:26:49.320 --> 00:26:55.730
Ja tässä sitten ratkaisut.
Näille potenssijoukkoa.

275
00:26:55.730 --> 00:26:58.200
koskeviin kysymyksiin.

276
00:26:58.200 --> 00:27:02.270
Nyt sitten vaihtelee ensimmäiseksi.

277
00:27:02.270 --> 00:27:09.540
N on tyhjä joukko ja 2
potenssiin on identtinen.

278
00:27:09.540 --> 00:27:15.550
Nyt sitten tällaisen joukon kanssa.
Se on joukko

279
00:27:15.550 --> 00:27:22.380
jonka alkiona on tyhjä
joukko

280
00:27:22.380 --> 00:27:26.000
Ja toisin sanoen se on
joukko, jonka alkiona on tyhjä

281
00:27:26.000 --> 00:27:30.780
joukko ja nyt kannattaa huomata, että tämä

282
00:27:30.780 --> 00:27:40.200
tyhjä joukko, ja sitten joukko, jonka
alkiona on tyhjä joukko ovat eri asioita.

283
00:27:40.200 --> 00:27:45.540
Toiseksi.
Kun N

284
00:27:45.540 --> 00:27:54.810
on joukko, johon kuuluu alkio a1 ja
sen potenssijoukko on joukko, joka koostuu.

285
00:27:54.810 --> 00:28:04.970
tyhjästä joukosta sekä
joukosta, jonka alkiona on a1.

286
00:28:04.970 --> 00:28:10.210
Ja kolmanneksi.
Kun N

287
00:28:10.210 --> 00:28:12.510
Koostuu.

288
00:28:12.510 --> 00:28:20.410
2 alkiosta, potenssijoukko 2
potenssiin joukko yksi 2 siellä

289
00:28:20.410 --> 00:28:22.260
on 4

290
00:28:22.260 --> 00:28:28.000
alkioita siinä potenssijoukossa
eli siellä on tyhjä joukko

291
00:28:28.000 --> 00:28:31.650
sitten joukko, jonka alkiona on a1,

292
00:28:31.650 --> 00:28:41.600
joukko, jonka alkiona a2, lopulta
joukko, jonka alkiona a1a2.

293
00:28:41.600 --> 00:28:48.380
Ja lopuksi 2 potenssiin N kun
n koostuu alkioista a1, a2 ja a3

294
00:28:48.380 --> 00:28:54.420
niin siellä on 2
potenssiin 3 eli 8 alkiota.

295
00:28:54.420 --> 00:28:58.940
Siinä potenssijoukko koostuu: tyhjä joukko,

296
00:28:58.940 --> 00:29:04.560
joukko, jossa on a1, joukko
jossa on a2, joukko jossa on

297
00:29:04.560 --> 00:29:12.020
a3, sitten joukko
jossa on a2 ja a2 alkiot.

298
00:29:12.020 --> 00:29:23.270
Alkiot a1, a3. Ja a2
ja a3 alkiot ja lopuksi

299
00:29:23.270 --> 00:29:30.680
joukko, jonka alkiot a1
a2 ja a3.

300
00:29:30.680 --> 00:29:34.380
Eli jos on tyhjä joukko niin
siellä on 2 potenssiin nolla eli

301
00:29:34.380 --> 00:29:39.780
yksi kappaletta alkioita
siinä potenssijoukossa.

302
00:29:39.780 --> 00:29:43.070
Kun N:ssä on yksi alkio.

303
00:29:43.070 --> 00:29:50.550
Niin on 2 potenssiin yksi
eli 2 kappaletta osajoukkoja.

304
00:29:50.550 --> 00:29:54.870
Ja 2 alkion tapauksessa 4, 

305
00:29:54.870 --> 00:30:06.950
3 alkion tapauksessa 8 ja niin edespäin ja
se miksi tämä on merkittävä asia on se, että

306
00:30:06.950 --> 00:30:11.510

potenssijoukon

307
00:30:11.510 --> 00:30:17.590
koko kasvaa eksponentiaaliseen
tahtiin geometrisesti sarjassa.

308
00:30:17.590 --> 00:30:21.410
Ja se on tärkeä huomata, että
mitä enemmän alkioita meillä on, niin sen

309
00:30:21.410 --> 00:30:27.090
enemmän mahdollisia variaatioita
niiden alkioiden välillä on.

310
00:30:27.090 --> 00:30:35.900
Ja kun alkioita on  merkittävä määrä,
niin ne luvut kasvavat aivan valtavan suureksi.

311
00:30:35.900 --> 00:30:41.640
Jos vaikkapa yhteiskuntatieteilijä.
Tarkastelee suomalaisia.

312
00:30:41.640 --> 00:30:45.340
Ja hän pohtii kaikkia mahdollisia
variaatioita mitä suomalaisten

313
00:30:45.340 --> 00:30:49.270
kesken jonkin seikan
suhteen voi olla olemassa.

314
00:30:49.270 --> 00:30:52.010
Niin puhutaan.

315
00:30:52.010 --> 00:30:58.610
Äärimmillään 5 ja puolen
miljoonan kansalaisen tapauksessa

316
00:30:58.610 --> 00:31:02.420
2 potenssiin 5 ja puoli miljoonaa.

317
00:31:02.420 --> 00:31:06.520
Erilaista kombinaatiota,
jotka suomalaiset voivat.

318
00:31:06.520 --> 00:31:10.230
Keskenään muodostaa.

319
00:31:10.230 --> 00:31:14.540
Voitaisiin ajatella
vaikka mahdollisia yhteisöjä.

320
00:31:14.540 --> 00:31:21.080
Jotka suomalaiset keskenään voivat muodostaa
niin niin yhteisöjen jäsenet voisivat

321
00:31:21.080 --> 00:31:25.660
olla 2 potenssiin 5 ja puolella
miljoonalla eri tavalla järjestäytyneitä.

322
00:31:25.660 --> 00:31:30.460
Ja tämä on aivan
käsittämättömän suuri lukumäärä.

323
00:31:30.460 --> 00:31:33.580
Ja toisaalta sitten meidän.

324
00:31:33.580 --> 00:31:38.440
Arkinen ymmärrys
tietysti pyrkii löytämään.

325
00:31:38.440 --> 00:31:44.320
Yksinkertaistuksia ja tyyppiesimerkkejä
ja stereotypioita, jotta me

326
00:31:44.320 --> 00:31:49.180
saataisiin hallintaan iso joukko
informaatiota, niin ne ovat taipuvaisia

327
00:31:49.180 --> 00:31:53.480
sitten ohittamaan erilaisia erikoisia

328
00:31:53.480 --> 00:31:59.970
kombinaatiota ja tieteilijä näkökulmasta on
todella tärkeää, että pystyy hahmottamaan.

329
00:31:59.970 --> 00:32:07.050
Erilaisia mahdollisia yhdistelmiä, jotka
eivät ensimmäisenä tule mieleen ja sen

330
00:32:07.050 --> 00:32:13.110
vuoksi pidän tätä potenssijoukon
käsitettä varsin tärkeänä.

331
00:32:13.110 --> 00:32:18.820
No esittelen vielä järjestetyn
parin käsitteen sitä merkitään.

332
00:32:18.820 --> 00:32:23.250
Merkitään tällaisella.

333
00:32:23.250 --> 00:32:30.840
Kulma sulkeilla tai pienempi kuin suurempi
kuin merkeillä eli järjestetty pari x, y.

334
00:32:30.840 --> 00:32:37.960
Määritellään siten, että jos meillä on
alkiot a, b, c ja d, niin tällöin nyt sitten

335
00:32:37.960 --> 00:32:46.920
järjestetyt alkioparit a  ja b sekä c ja
d ovat identtiset jos ja vain jos alkio a

336
00:32:46.920 --> 00:32:54.390
on sama kuin alkio ja c
alkio b on sama kuin alkio d.

337
00:32:54.390 --> 00:32:56.680
Ja ideana tässä.

338
00:32:56.680 --> 00:33:03.240
On että järjestyksellä
on väliä tässä 

339
00:33:03.240 --> 00:33:09.580
Järjestetyssä parissa,
toisin kuin 2 alkion joukossa.

340
00:33:09.580 --> 00:33:16.250
Jossa.
Ei ole väliä mikä näillä on järjestys.

341
00:33:16.250 --> 00:33:18.710
Ja.

342
00:33:18.710 --> 00:33:25.510
Lyhyesti sanottuna 2
alkion järjestetty pari.

343
00:33:25.510 --> 00:33:29.450
Voi toimia pohjana sitten
järjestetyn kolmikon tai nelikon

344
00:33:29.450 --> 00:33:34.850
tai niin edespäin
käsitteiden määritelmässä ja

345
00:33:34.850 --> 00:33:41.540
Tällä voi olla hyvinkin merkitystä,
jos me haluamme nimenomaisesti.

346
00:33:41.540 --> 00:33:48.420
Tietyn järjestyksen mukaisia.
Alkiojoukkoja määrittää.